Giải bài tập 5.13 trang 48

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (Delta ) đi qua hai điểm (Aleft( {2;3; - 1} right)) và (Bleft( {1; - 2;4} right)).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A (2; 3; - 1)$ và $B (1; - 2; 4)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}), A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{A_{1} A_{2}} (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có phương trình đường thẳng tham số là: ${\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases} (t \in R)$ .

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để tìm vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng AB đi qua điểm $A (2; 3; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{A B} (- 1; - 5; 5)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: ${\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 5 t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}$ .

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 1}{5}$ .