Giải bài tập 5.14 trang 48

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 8}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{2}$ .

a) Chứng minh rằng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}), A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó: $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} (2; - 1; 3)$ và đi qua điểm $A_{1} (1; 3; 2)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} (- 1; 1; 2)$ và đi qua điểm $A_{2} (8; - 2; 2)$ .

Vì $\frac{1}{8} \neq \frac{3}{- 2}$ nên hai vectơ $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương.

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} - 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} |) = (- 5; - 7; 1) \neq \vec{0}$ , $\vec{A_{1} A_{2}} (7; - 5; 0)$ .

Vì $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 7. (- 5) + (- 5) . (- 7) + 0.1 = 0$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 5; - 7; 1) \neq \vec{0}$ nên $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau.

b) Vì mặt phẳng (P) chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ , $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau nên mặt phẳng (P) nhận $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 5; - 7; 1)$ là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm $A_{1} (1; 3; 2)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$- 5 (x - 1) - 7 (y - 3) + 1 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - 5 x - 7 y + z + 24 = 0$ .