Giải bài tập 5.15 trang 110

Đề bài

Trong Hình 5.28, các cuộn thép được đặt chồng lên nhau. Đường kính của mỗi cuộn thép là 1,2m. Gọi A, B, C lần lượt là tâm của mặt cắt các cuộn thép, H là tiếp điểm của hai cuộn thép phía dưới.

a) Chứng minh $Δ A B C$ là tam giác đều và tính độ dài AH.

b) Tính khoảng cách từ B và C đến mặt đất.

c) Tính chiều cao h của khối ba cuộn thép.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Gọi I là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm C, K là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm B.

+ Tính bán kính của các đường tròn (A), (B), (C).

+ Từ đó tính được $A B = B C = A C$ nên tam giác ABC đều.

+ Chứng minh AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác ABC đều.

+ Áp dụng định lí Pythagore để tính AH.

b) Đường tròn tâm (B), (C) tiếp xúc với mặt đất nên khoảng cách từ B, C đến mặt đất bằng bán kính của đường tròn tâm (B), (C).

c) + Chiều cao của ba cuộn thép bằng tổng đường kính của hai đường tròn tâm A và tâm C.

Lời giải chi tiết

Gọi I là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm C, K là tiếp điểm của mặt cắt của các cuộn thép tâm A và tâm B.

a) Vì AI, AK là bán kính đường tròn (A) nên

$A I = A K = \frac{1, 2}{2} = 0, 6 m$ .

Vì BH, BK là bán kính đường tròn (B) nên

$B H = B K = \frac{1, 2}{2} = 0, 6 m$ .

Vì CI, CH là bán kính đường tròn (C) nên

$C I = C H = \frac{1, 2}{2} = 0, 6 m$ .

Vì các cuộn thép tâm A, B, C đặt chồng lên nhau nên các mặt cắt của các cuộn thép tâm A, B, C tiếp xúc ngoài nhau.

Do đó, $A C = A I + I C = 1, 2 m, B C = B H + H C = 1, 2 m, A B = B K + A K = 1, 2 m$

Suy ra: $A B = B C = A C$ .

Vậy $Δ A B C$ là tam giác đều

Mà AH là đường trung tuyến của tam giác ABC (vì $B H = H C$ ) nên AH là đường cao của tam giác ABC. Suy ra, tam giác AHC vuông tại H.

Do đó, $A H^{2} + H C^{2} = A C^{2}$ (định lí Pythagore), suy ra

$A H = \sqrt{A C^{2} - A H^{2}} = \sqrt{1, 2^{2} - 0, 6^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{5} (m)$

b) Vì đường tròn tâm (B), (C) tiếp xúc với mặt đất nên khoảng cách từ B, C đến mặt đất bằng bán kính của đường tròn tâm (B), (C).

Do đó, khoảng cách từ B và C đến mặt đất đều bằng 0,6m.

c) Vì các cuộn thép tâm A, B, C tiếp xúc ngoài nhau nên chiều cao h của khối ba cuộn thép là: $h = 1, 2 + 1, 2 = 2, 4 (m)$