Giải bài tập 5.15 trang 48

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ({Delta _1}:frac{{x - 1}}{3} = frac{{y - 3}}{1} = frac{{z - 2}}{2}) và ({Delta _2}:frac{{x - 1}}{3} = frac{{y + 1}}{1} = frac{z}{2}). a) Chứng minh rằng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) song song nhau. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ({Delta _1}) và ({D

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{2}$ .

a) Chứng minh rằng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} (3; 1; 2)$ và đi qua điểm $A (1; 3; 2)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} (3; 1; 2)$ .

Vì $\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}}$ nên hai vectơ $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ cùng phương.

Lại có: $\frac{1 - 1}{3} \neq \frac{3 + 1}{1}$ nên điểm A không thuộc đường thẳng $Δ_{2}$ .

Do đó, $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ song song nhau.

b) Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $B (1; - 1; 0)$ .

Ta có: $\vec{A B} (0; - 4; - 2)$ không cùng phương với $\vec{u_{1}} (3; 1; 2)$ .

Lại có: $[\vec{u_{1}}, \vec{A B}] = (| \begin{matrix} 1 & 2 \\ - 4 & - 2 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 2 & 3 \\ - 2 & 0 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 3 & 1 \\ 0 & - 4 \end{matrix} |) = (6; 6; - 12)$ .

Do đó, mặt phẳng (P) chứa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ nhận $\frac{1}{6} [\vec{u_{1}}, \vec{A B}] = (1; 1; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm $A (1; 3; 2)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: $x - 1 + y - 3 - 2 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 z = 0$ .