Giải bài tập 5.16 trang 48

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + t\y = 1\z = 3 + 2tend{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + 2s\y = 2 + s\z = 1 + 3send{array} right.).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: $Δ_{1} : {\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : {\begin{cases} x = - 1 + 2 s \\ y = 2 + s \\ z = 1 + 3 s \end{cases}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} (1; 0; 2)$ và đi qua điểm $A (- 1; 1; 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} (2; 1; 3)$ và đi qua điểm $B (- 1; 2; 1)$ .

Vì $\frac{1}{2} \neq \frac{0}{1}$ nên $\vec{u_{1}}$ không cùng phương với $\vec{u_{2}}$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} |)$

$= (- 2; 1; 1) \neq \vec{0}$ , $\vec{A B} (0; 1; - 2)$ .

Vì $\vec{A B} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0. (- 2) + 1.1 + (- 2) .1 = - 1 \neq 0$ nên $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.