Giải bài tập 5.16 trang 64

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành, S(3;−2;4)S(3;−2;4)S(3; - 2;4), A(3;4;5)A(3;4;5)A(3;4;5), B(8;8;6)B(8;8;6)B(8;8;6), C(7;6;3)C(7;6;3)C(7;6;3). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh SB và đường thẳng chứa cạnh đáy AD của hình chóp.

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành, $S (3; - 2; 4)$ , $A (3; 4; 5)$ , $B (8; 8; 6)$ , $C (7; 6; 3)$ . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh SB và đường thẳng chứa cạnh đáy AD của hình chóp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng qua hai điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ và $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ có vectơ chỉ phương $\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ . Dùng công thức để lập phương trình tham số và chính tắc.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ là:

${\begin{array}{l} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ z = z_{0} + a_{3} t \end{array} (t \in R)$

Phương trình chính tắc của đường thẳng:

$\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$

Nếu biết hai điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ và $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ .

Lời giải chi tiết

Phương trình đường thẳng chứa cạnh SB:

- Vectơ chỉ phương: $\vec{S B} = (8 - 3, 8 + 2, 6 - 4) = (5, 10, 2)$

- Phương trình tham số:

${\begin{array}{l} x = 3 + 5 t \\ y = - 2 + 10 t \\ z = 4 + 2 t \end{array} (t \in R)$

Phương trình đường thẳng chứa cạnh đáy AD:

- Điểm D: Từ hình bình hành, ta suy ra:

$\vec{A D} = \vec{B C} \Rightarrow D = A + (C - B) = (3, 4, 5) + ((7, 6, 3) - (8, 8, 6)) = (2, 2, 2)$

- Vectơ chỉ phương: $\vec{A D} = (2 - 3, 2 - 4, 2 - 5) = (- 1, - 2, - 3)$

- Phương trình tham số:

${\begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = 4 - 2 t \\ z = 5 - 3 t \end{array} (t \in R)$