Giải bài tập 5.17 trang 49

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ({Delta _1}:frac{{x - 1}}{2} = frac{y}{{ - 1}} = frac{{z + 1}}{3}) và ({Delta _2}:frac{{x - 3}}{{ - 1}} = frac{{y + 1}}{1} = frac{z}{1}). a) Hai con đường t

Đề bài

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{3}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}$ .

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét xem nút giao thông có phải là nút giao thông khác mức không: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1}), A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} (2; - 1; 3)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} (- 1; 1; 1)$ .

Ta có: $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 2. (- 1) - 1.1 + 3.1 = 0$ nên $\vec{u_{1}} ⊥ \vec{u_{2}}$ . Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $A (1; 0; - 1)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $B (3; - 1; 0)$ .

Vì $\frac{2}{- 1} \neq \frac{- 1}{1}$ nên $\vec{u_{1}}$ không cùng phương với $\vec{u_{2}}$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} - 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} |)$

$= (- 4; - 5; 1) \neq \vec{0}$ , $\vec{A B} (2; - 1; 1)$ .

Vì $\vec{A B} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 4) .2 + (- 5) . (- 1) + 1.1 = - 2 \neq 0$ nên $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.

Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.