Giải bài tập 5.17 trang 98

Cho đường tròn (O; 5 cm). a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm. b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm). c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB. d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Đề bài

Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm. Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H.

b) Ta chứng minh $A H = B H$ suy ra $A B = 2 A H$ . Áp dụng định lý Pythagore để tính AH, từ đó suy ra độ dài AB.

c) Tính $\sin \hat{A O H}$ suy ra $\hat{A O H}$ và sđ $\overset{⌢}{A B}$ , từ đó tính được độ dài cung $\overset{⌢}{A B}$ .

d) Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm. Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét tam giác OAH và tam giác OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

$\hat{O H A} = \hat{O H B} = 90^{\circ}$

suy ra $Δ O A H = Δ O B H$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

suy ra $A H = B H$ (hai cạnh tương ứng), do đó $A B = 2 A H$

Xét tam giác OAH vuông tại H có:

$A H^{2} + O H^{2} = O A^{2}$ (định lý Pythagore)

hay $A H^{2} = O A^{2} - O H^{2} = 5^{2} - 2, 5^{2} = 18, 75$

suy ra $A H = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ (cm)

do đó $A B = 2. \frac{5 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3} \approx 8, 66$ (cm)

c) Xét tam giác OAH vuông tại H có:

$\cos \hat{A O H} = \frac{O H}{O A} = \frac{2, 5}{5} = \frac{1}{2}$ suy ra $\hat{A O H} = 60^{\circ}$

Mà: $Δ O A H = Δ O B H$

Do đó $\hat{B O H} = \hat{A O H} = 60^{\circ}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra $\hat{A O B} = \hat{B O H} + \hat{A O H} = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$

hay sđ $\overset{⌢}{A B} = 120^{\circ}$

Độ dài cung AB là: $\frac{120}{180} . π .5 = \frac{10}{3} π$ (cm)

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

$\frac{120}{360} . π {.5}^{2} = \frac{25 π}{3} (c m^{2})$