Giải bài tập 5.19 trang 64

Đề bài

Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc:

$d_{1} : {\begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 3 + 2 t (t \in R) \\ z = - 1 + 4 t \end{array} d_{2} : {\begin{array}{l} x = 2 m \\ y = 1 - m (m \in R) \\ z = 2 + m \end{array} d_{3} : \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{- 1}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng $d_{1}$ , $d_{2}$ , và $d_{3}$ . Kiểm tra điều kiện vuông góc của các vectơ chỉ phương bằng tích vô hướng: nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của $d_{1}$ : $\vec{u_{1}} = (- 1, 2, 4)$

Vectơ chỉ phương của $d_{2}$ : $\vec{u_{2}} = (2, - 1, 1)$

Vectơ chỉ phương của $d_{3}$ : $\vec{u_{3}} = (2, 3, - 1)$

Kiểm tra vuông góc:

- $d_{1}$ và $d_{2}$ vuông góc: $\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}} = (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot (- 1) + 4 \cdot 1 = - 2 - 2 + 4 = 0$

Vậy $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ .

- $d_{1}$ và $d_{3}$ vuông góc: $\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{3}} = (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot (- 1) = - 2 + 6 - 4 = 0$

Vậy $d_{1}$ vuông góc với $d_{3}$ .

- $d_{2}$ và $d_{3}$ vuông góc: $\vec{u_{2}} \cdot \vec{u_{3}} = 2 \cdot 2 + (- 1) \cdot 3 + 1 \cdot (- 1) = 4 - 3 - 1 = 0$

Vậy $d_{2}$ vuông góc với $d_{3}$ .

Kết luận: Ba đường thẳng $d_{1}$ , $d_{2}$ , $d_{3}$ đôi một vuông góc.