Giải bài tập 5.2 trang 39

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với (Aleft( {1; - 1;3} right),Bleft( {0;2;4} right),)(Dleft( {2; - 1;1} right),A'left( {0;1;2} right)). a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’. b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với $A (1; - 1; 3)$ , $B (0; 2; 4)$ , $D (2; - 1; 1)$ , $A^{'} (0; 1; 2)$ .

a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ .

Lời giải chi tiết

a) $\vec{A B} (- 1; 3; 1)$ , $\vec{A A^{'}} (- 1; 2; - 1)$ .

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên

+) $\vec{A B} = \vec{A^{'} B^{'}} \Rightarrow {\begin{cases} x_{B^{'}} - x_{A^{'}} = - 1 \\ y_{B^{'}} - y_{A^{'}} = 3 \\ z_{B^{'}} - z_{A^{'}} = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{B^{'}} = - 1 + x_{A^{'}} = - 1 + 0 = - 1 \\ y_{B^{'}} = 3 + y_{A^{'}} = 3 + 1 = 4 \\ z_{B^{'}} = 1 + z_{A^{'}} = 1 + 2 = 3 \end{cases}$

$\Rightarrow B^{'} (- 1; 4; 3)$ .

+) $\vec{A A^{'}} = \vec{D D^{'}} \Rightarrow {\begin{cases} x_{D^{'}} - x_{D} = - 1 \\ y_{D^{'}} - y_{D} = 2 \\ z_{D^{'}} - z_{D} = - 1 \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{D^{'}} = - 1 + x_{D} = 1 \\ y_{D^{'}} = 2 + y_{D} = 1 \\ z_{D^{'}} = - 1 + z_{D} = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow D^{'} (1; 1; 0)$ .

+) $\vec{A B} = \vec{D C} \Rightarrow {\begin{cases} - 1 = x_{C} - x_{D} \\ 3 = y_{C} - y_{D} \\ 1 = z_{C} - z_{D} \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{C} = - 1 + x_{D} = - 1 + 2 = 1 \\ y_{C} = 3 + y_{D} = 3 - 1 = 2 \\ z_{C} = 1 + z_{D} = 1 + 1 = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow C (1; 2; 2)$ .

b) Ta có: $\vec{C D^{'}} (0; - 1; - 2)$ , $\vec{C B^{'}} (- 2; 2; 1)$ .

$[\vec{C D^{'}}, \vec{C B^{'}}]$

$= (| \begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 2 & 0 \\ 1 & - 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 0 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix} |)$

$= (3; 4; - 2)$ .

Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm $C (1; 2; 2)$ và nhận $[\vec{C D^{'}}, \vec{C B^{'}}] = (3; 4; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:

$3 (x - 1) + 4 (y - 2) - 2 (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 3 x + 4 y - 2 z - 7 = 0$ .