Đề bài
Viết phương trình của mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1;−2;4) và nhận ⃗n=(2;3;5) làm vectơ pháp tuyến;
b) Đi qua điểm A(0;−1;2) và song song với giá của mỗi vectơ ⃗u=(3;2;1) và ⃗v=(−3;0;1)
c) Đi qua ba điểm A(−1;2;3),B(2;−4;3),C(4;5;6)
d) Đi qua ba điểm A(−3;0;0),B(0;−2;0),C(0;0;−1).
Ax+By+Cz+D=0
Trong đó:
- ⃗n=(A,B,C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Nếu biết một điểm M0(x0,y0,z0) thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến ⃗n=(A,B,C), phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ −−→AB và −−→AC.
Lời giải chi tiết
a) Đi qua điểm M(1;−2;4) và nhận ⃗n=(2;3;5) làm vectơ pháp tuyến:
Phương trình của mặt phẳng là:
2(x−1)+3(y+2)+5(z−4)=0
Rút gọn:
2x+3y+5z−16=0
b) Đi qua điểm A(0;−1;2) và song song với giá của mỗi vectơ ⃗u=(3;2;1) và ⃗v=(−3;0;1)
Tích có hướng của hai vectơ là:
⃗n=⃗u×⃗v=∣∣
∣
∣∣⃗i⃗j⃗k321−301∣∣
∣
∣∣=(2;−6;6)
Phương trình mặt phẳng là:
2(x−0)−6(y+1)+6(z−2)=0
Rút gọn:
x−3y+3z−9=0
c) Đi qua ba điểm A(−1;2;3),B(2;−4;3),C(4;5;6)
Tính các vectơ −−→AB và −−→AC:
−−→AB=(3;−6;0),−−→AC=(5;3;3)
Tích có hướng:
⃗n=−−→AB×−−→AC=((−6).3−0.3;0.5−3.3;3.3−(−6).5)=(−18;−9;39)
Phương trình mặt phẳng là:
−18(x+1)−9(y−2)+39(z−3)=0
Rút gọn:
−6x−3y+13z−39=0
d) Đi qua ba điểm A(−3;0;0),B(0;−2;0),C(0;0;−1).
Tính các vectơ −−→AB và −−→AC:
−−→AB=(3;−2;0),−−→AC=(3;0;−1)
Tích có hướng:
⃗n=−−→AB×−−→AC=((−2).(−1)−0.0;0.3−3.(−1);3.0−(−2).3)=(2;3;6)
Phương trình mặt phẳng là:
2x+3y+6z+6=0
