Giải bài tập 5.2 trang 51

Viết phương trình của mặt phẳng: a) Đi qua điểm (M(1; - 2;4)) và nhận (vec n = (2;3;5)) làm vectơ pháp tuyến; b) Đi qua điểm (A(0; - 1;2)) và song song với giá của mỗi vectơ (vec u = (3;2;1)) và (vec v = ( - 3;0;1)) c) Đi qua ba điểm (A( - 1;2;3),B(2; - 4;3),C(4;5;6)) d) Đi qua ba điểm (A( - 3;0;0),

Đề bài

Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm $M (1; - 2; 4)$ và nhận $\vec{n} = (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm $A (0; - 1; 2)$ và song song với giá của mỗi vectơ $\vec{u} = (3; 2; 1)$ và $\vec{v} = (- 3; 0; 1)$

c) Đi qua ba điểm $A (- 1; 2; 3), B (2; - 4; 3), C (4; 5; 6)$

d) Đi qua ba điểm $A (- 3; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; - 1)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

$A x + B y + C z + D = 0$

Trong đó:

- $\vec{n} = (A, B, C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

- Nếu biết một điểm $M_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A, B, C)$ , phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1}), B (x_{2}, y_{2}, z_{2}), C (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ , phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đi qua điểm $M (1; - 2; 4)$ và nhận $\vec{n} = (2; 3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến:

Phương trình của mặt phẳng là:

$2 (x - 1) + 3 (y + 2) + 5 (z - 4) = 0$

Rút gọn:

$2 x + 3 y + 5 z - 16 = 0$

b) Đi qua điểm $A (0; - 1; 2)$ và song song với giá của mỗi vectơ $\vec{u} = (3; 2; 1)$ và $\vec{v} = (- 3; 0; 1)$

Tích có hướng của hai vectơ là:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ - 3 & 0 & 1 \end{matrix} | = (2; - 6; 6)$

Phương trình mặt phẳng là:

$2 (x - 0) - 6 (y + 1) + 6 (z - 2) = 0$

Rút gọn:

$x - 3 y + 3 z - 9 = 0$

c) Đi qua ba điểm $A (- 1; 2; 3), B (2; - 4; 3), C (4; 5; 6)$

Tính các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ :

$\vec{A B} = (3; - 6; 0), \vec{A C} = (5; 3; 3)$

Tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = ((- 6) .3 - 0.3; 0.5 - 3.3; 3.3 - (- 6) .5) = (- 18; - 9; 39)$

Phương trình mặt phẳng là:

$- 18 (x + 1) - 9 (y - 2) + 39 (z - 3) = 0$

Rút gọn:

$- 6 x - 3 y + 13 z - 39 = 0$

d) Đi qua ba điểm $A (- 3; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; - 1)$ .

Tính các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ :

$\vec{A B} = (3; - 2; 0), \vec{A C} = (3; 0; - 1)$

Tích có hướng:

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = ((- 2) . (- 1) - 0.0; 0.3 - 3. (- 1); 3.0 - (- 2) .3) = (2; 3; 6)$

Phương trình mặt phẳng là:

$2 x + 3 y + 6 z + 6 = 0$