Giải bài tập 5.20 trang 53

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = 1 + 2ty = 1 - tz = 2 + 3tend{array} right.) và ({Delta _2}:frac{{x - 2}}{{ - 1}} = frac{{x + 1}}{1} = frac{{z - 2}}{2}).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : {\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ$ và $Δ^{'}$ tương ứng có các vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c), \vec{u^{'}} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ . Khi đó:

$\cos (Δ, Δ^{'}) = | \cos (\vec{u}, \vec{u^{'}}) | = \frac{| a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{' 2} + b^{' 2} + c^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $Δ_{1}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; - 1; 3)$ , đường thẳng $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 1; 1; 2)$ .

Do đó: $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) |$

$= \frac{| 2. (- 1) - 1.1 + 3.2 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$ .

Suy ra: $(Δ_{1}, Δ_{2}) \approx 70, 9^{o}$ .