Giải bài tập 5.20 trang 64

Đề bài

Cho đường thẳng $d$ :

$d : {\begin{array}{l} x = 2 - 2 t \\ y = 3 + 3 t (t \in R) \\ z = 6 + 4 t \end{array}$

a) Tìm tọa độ điểm $A$ thuộc $d$ , biết $O A = 7$ .

b) Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ trên $d$ và tính khoảng cách từ $O$ đến $d$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dùng công thức khoảng cách $O A = 7$ để tìm giá trị $t$ , từ đó xác định tọa độ của điểm $A$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $O$ lên $d$ và tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $d$ .

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ điểm $A$ thuộc $d$ có dạng:

$A (2 - 2 t, 3 + 3 t, 6 + 4 t)$

Điều kiện $O A = 7$ , tức là:

$\sqrt{{(2 - 2 t)}^{2} + {(3 + 3 t)}^{2} + {(6 + 4 t)}^{2}} = 7$

Bình phương hai vế:

$\begin{array}{l} (2 - 2 t)^{2} + (3 + 3 t)^{2} + (6 + 4 t)^{2} = 49 \\ 4 - 8 t + 4 t^{2} + 9 + 18 t + 9 t^{2} + 36 + 48 t + 16 t^{2} = 49 \\ 29 t^{2} + 58 t + 49 = 49 \\ 29 t (t + 2) = 0 \\ t = 0, t = - 2 \end{array}$

Vậy điểm A có hai toạ độ là $(2; 3; 6), (6; - 3; - 2)$

b) Tìm tọa độ điểm $H$ (hình chiếu vuông góc của $O$ lên $d$ ):

Vectơ OH là $(2 - 2 t, 3 + 3 t, 6 + 4 t)$ , và vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $(- 2, 3, 4)$ . Ta cần giải phương trình:

$(2 - 2 t) (- 2) + (3 + 3 t) (3) + (6 + 4 t) (4) = 0$ $- 4 + 4 t + 9 + 9 t + 24 + 16 t = 0$

$29 + 29 t = 0$

$t = - 1$

Vậy toạ độ điểm H là $(4; 0; 2)$

Khoảng cách từ O đến d chính là độ dài đoạn OH

$| O H | = \sqrt{4^{2} + 0^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} \approx 4, 47$