Giải bài tập 5.21 trang 53

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (left( P right):x + 2y - z - 1 = 0).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng $(P) : x + 2 y - z - 1 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Khi đó:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| a A + b B + c C |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Trục Oz có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (0; 0; 1)$ , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; - 1)$ .

$\sin (O z, (P)) = \frac{| 0.1 + 0.2 + 1. (- 1) |}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ .

Do đó, góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) khoảng $24, 1^{o}$ .