Giải bài tập 5.21 trang 64

Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là A(3;2

Đề bài

a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.

b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình đường thẳng trong không gian:

Đường thẳng đi qua hai điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ và $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ có vectơ chỉ phương là:

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$

Phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:

${\begin{array}{l} x = x_{1} + t (x_{2} - x_{1}) \\ y = y_{1} + t (y_{2} - y_{1}) \\ z = z_{1} + t (z_{2} - z_{1}) \end{array}$

trong đó $t$ là tham số.

Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng khi biết chiều cao $z$ :

Dùng phương trình tham số của đường thẳng để thay giá trị $z = 12$ , từ đó tính $t$ . Sử dụng giá trị $t$ để tìm tọa độ $x$ và $y$ .

Lời giải chi tiết

a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.

Tọa độ điểm A là $A (3; 2, 5; 15)$ và tọa độ điểm B là $B (21; 27, 5; 10)$ .

Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

$\vec{A B} = (21 - 3, 27, 5 - 2, 5, 10 - 15) = (18, 25, - 5)$

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương $\vec{A B}$ :

${\begin{array}{l} x = 3 + 18 t \\ y = 2, 5 + 25 t \\ z = 15 - 5 t \end{array}$

Đây là phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.

b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét. Biết $z = 12$ , thay vào phương trình tham số của z:

$12 = 15 - 5 t$

Giải phương trình:

$5 t = 15 - 12 = 3 \Rightarrow t = \frac{3}{5}$

Thay $t = \frac{3}{5}$ vào các phương trình tham số của x và y:

$x = 3 + 18 \times \frac{3}{5} = 3 + 10, 8 = 13, 8$

$y = 2, 5 + 25 \times \frac{3}{5} = 2, 5 + 15 = 17, 5$

Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là $(13, 8; 17, 5; 12)$ .