Giải bài tập 5.22 trang 53

Tính góc giữa đường thẳng (Delta :frac{{x + 1}}{{ - 1}} = frac{{y - 3}}{2} = frac{{z + 2}}{3}) và mặt phẳng (left( P right):x + y + z + 3 = 0).

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z + 3 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ . Khi đó:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| a A + b B + c C |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 2; 3)$ , mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; 1)$ .

$\sin (Δ, (P)) = \frac{| (- 1) .1 + 2.1 + 3.1 |}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 3^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{4}{\sqrt{42}}$ .

Do đó, góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng (P) khoảng $38, 1^{o}$ .