Giải bài tập 5.22 trang 65

Đề bài

Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và $\hat{B O C} = 90^{\circ}$ . Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 16000 m. Hỏi ra-đa này có thể dò tìm được tín hiệu của máy bay M khi bay trên bầu trời từ D đến E hay không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Viết phương trình tham số của đường thẳng DE từ tọa độ điểm $D$ và $E$ .

- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng DE trong không gian. Nếu khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng bán kính dò tìm $16000 m$ , ra-đa sẽ bắt được tín hiệu máy bay.

Lời giải chi tiết

Tọa độ điểm $D (20; 0; 9)$ và $E (0; 16; 12)$ . Vectơ chỉ phương của đường thẳng DE là:

$\vec{D E} = (0 - 20; 16 - 0; 12 - 9) = (- 20; 16; 3)$

Phương trình tham số của đường thẳng DE:

${\begin{array}{l} x = 20 - 20 t \\ y = 16 t \\ z = 9 + 3 t \end{array}$

trong đó t là tham số.

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng DE, suy ra toạ độ điểm M là:

$H (20 - 20 t; 16 t; 9 + 3 t)$

Và tích vô hướng của $\vec{O H}$ và $\vec{D E}$ là:

$\vec{D E} . \vec{O H} = (- 20) . (20 - 20 t) + 16.16 t + 3. (9 + 3 t) = 0$

Giải phương trình trên ta được điểm $t = \frac{373}{665}$

Điểm H có toạ độ là $(\frac{1168}{133}; \frac{5968}{665}; \frac{7104}{665})$

Khoảng cách từ O đến đến đường thẳng DE chính là độ dài đoạn thẳng OH

$d = \sqrt{{(\frac{1168}{133})}^{2} + {(\frac{5968}{665})}^{2} + {(\frac{7104}{665})}^{2}} \approx 16, 486 = 16486 m$

Vì khoảng cách từ ra-da tới đường bay của máy bay M lớn hơn bán kính dò tìm tối đa của ra-da nên không thể thấy tín hiệu của máy bay M.