Giải bài tập 5.24 trang 53

Đề bài

(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C), \vec{n^{'}} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

$\cos ((P), (Q)) = | \cos (\vec{n}, \vec{n^{'}}) | = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Khi đó, A(0; 1; 0,4), B(1; 1; 0,44), C(1; 0; 0,48), D(0; 0; z).

Suy ra: $\vec{A B} (1; 0; 0, 04)$ , $\vec{D C} (1; 0, 0, 48 - z)$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C} \Rightarrow 0, 48 - z = 0, 04 \Rightarrow z = 0, 44$ .

Do đó, D(0; 0; 0,44). Vậy khoảng cách từ D đến đáy bể bằng 44 cm.

b) Có $\vec{A B} = (1; 0; 0, 04)$ , $\vec{A C} = (0; - 1; 0, 08)$ .

$\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (0, 04; - 0, 04; - 1)$ là một vecto pháp tuyến của (ABCD).

Mặt phẳng đáy bể (Oxy) nhận $\vec{k} = (0; 0; 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang chính là góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt đáy.

$\cos ((A B C D), (O x y)) = \frac{| \vec{k} . \vec{n} |}{| \vec{k} | . | \vec{n} |}$

$= \frac{| 0.0, 04 + 0. (- 0, 04) + 1. (- 1) |}{\sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} . \sqrt{0, 04^{2} + {(- 0, 04)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{25}{\sqrt{627}}$ .

Vậy $((A B C D), (O x y)) \approx 3, 2^{o}$ .