Giải bài tập 5.24 trang 70

Tính góc giữa đường thẳng d:x+32=y−11=z−21d:x+32=y−11=z−21d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1} với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $d : \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đối với phương trình chính tắc $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ , vector chỉ phương của đường thẳng cũng là $\vec{u} = (a, b, c)$ .

- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ và $\vec{u_{2}} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})$ được tính bởi:

$\cos θ = \frac{\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}}}{| \vec{u_{1}} | | \vec{u_{2}} |}$

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (2, 1, 1)$ .

Góc giữa đường thẳng và trục Ox:

Tích vô hướng giữa $\vec{u} = (2, 1, 1)$ và $\vec{i} = (1, 0, 0)$ :

$\vec{u} \cdot \vec{i} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 0 = 2$

Độ dài $| \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}, | \vec{i} | = 1$ .

$\cos θ = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Suy ra $θ_{O x} = \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 35^{\circ}$ .

Góc giữa đường thẳng và trục Oy:

Tích vô hướng giữa $\vec{u}$ và $\vec{j} = (0, 1, 0)$ :

$\vec{u} \cdot \vec{j} = 2 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1$

$\cos θ = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Suy ra $θ_{O y} = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{6}}) \approx 65^{\circ}$ .

Góc giữa đường thẳng và trục Oz:

Tích vô hướng giữa $\vec{u}$ và $\vec{k} = (0, 0, 1)$ :

$\vec{u} \cdot \vec{k} = 2 \times 0 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = 1$

$\cos θ = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Suy ra $θ_{O z} = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{6}}) \approx 65^{\circ}$ .