Giải bài tập 5.25 trang 70

Đề bài

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d : {\begin{array}{l} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + t t \in R \\ z = 3 + 4 t \end{array} v à d^{'} : {\begin{array}{l} x = 2 - t^{'} \\ y = - 1 + 3 t^{'} t^{'} \in R \\ z = 4 + 2 t^{'} \end{array}$

b) $d : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2} v à d^{'} : {\begin{array}{l} x = 3 + t^{'} \\ y = - 1 + t^{'} t^{'} \in R \\ z = 1 \end{array}$ .

c) $d : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{6} v à d^{'} : \frac{x}{12} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đối với phương trình tham số $d : x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t, z = z_{0} + c t$ , vector chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (a, b, c)$ .

- Đối với phương trình chính tắc $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ , vector chỉ phương của đường thẳng cũng là $\vec{u} = (a, b, c)$ .

- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ và $\vec{u_{2}} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})$ được tính bởi:

$\cos θ = \frac{\vec{u_{1}} \cdot \vec{u_{2}}}{| \vec{u_{1}} | | \vec{u_{2}} |}$

Lời giải chi tiết

Vector chỉ phương của $d$ : $\vec{u} = (2; 1; 4)$ .

Vector chỉ phương của $d^{'}$ : ${\vec{u}}^{'} = (- 1; 3; 2)$ . Tích vô hướng:

$\vec{u} \cdot {\vec{u}}^{'} = 2 \times (- 1) + 1 \times 3 + 4 \times 2 = - 2 + 3 + 8 = 9$

Độ dài:

$| \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 4^{2}} = \sqrt{21}, | {\vec{u}}^{'} | = \sqrt{1^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{14}$

$\cos θ = \frac{9}{\sqrt{21} \times \sqrt{14}} = \frac{9}{\sqrt{294}} = \frac{3 \sqrt{6}}{14}$

Suy ra $θ = \cos^{- 1} (\frac{3 \sqrt{6}}{14}) \approx 58^{\circ}$ .

Vector chỉ phương của $d$ : $\vec{u} = (1; 2; 2)$ .

Vector chỉ phương của $d^{'}$ : ${\vec{u}}^{'} = (1; 1; 0)$ .

Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:

$\vec{u} \cdot {\vec{u}}^{'} = 1 \times 1 + 2 \times 1 + 2 \times 0 = 1 + 2 + 0 = 3$

Độ dài của $\vec{u}$ và ${\vec{u}}^{'}$ :

$| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$

$| {\vec{u}}^{'} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$

Góc giữa hai đường thẳng:

$\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot {\vec{u}}^{'}}{| \vec{u} | | {\vec{u}}^{'} |} = \frac{3}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra:

$θ = \cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ}$

Vector chỉ phương của $d$ : $\vec{u} = (- 2; 3; 6)$ .

Vector chỉ phương của $d^{'}$ : ${\vec{u}}^{'} = (12, 2, 3)$ .

Tích vô hướng của hai vector chỉ phương:

$\vec{u} \cdot {\vec{u}}^{'} = (- 2) \times 12 + 3 \times 2 + 6 \times 3 = - 24 + 6 + 18 = 0$

Vì $\vec{u} \cdot {\vec{u}}^{'} = 0$ , nên $θ = 90^{\circ}$ , hay hai đường thẳng vuông góc với nhau.