Giải bài tập 5.26 trang 71

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng $α$

a) $d : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2} v à α : 2 x + 2 y + 1 = 0$

b) $d : {\begin{array}{l} x = 3 + 7 t \\ y = - 1 - 8 t \\ z = 1 - 15 t \end{array}, (t \in R)$ và $α : 2 x + 2 y + 1 = 0$

c) $d : \frac{x}{3} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}, α : 6 x - 2 y + 4 z = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ , khi đó góc $(d, α)$ được tính theo công thức:

$\sin ((d, α)) = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{n} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{n} |}$

hoặc

$\sin ((d, α)) = \frac{| a A + b B + c C |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \cdot \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} .$

Lời giải chi tiết

- Vector chỉ phương của $d$ : $\vec{u} = (1; 2; 2)$

- Vector pháp tuyến của mặt phẳng $α$ : $\vec{n} = (2; 2; 0)$

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 0 = 6$

$| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3, | \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

$\sin θ = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{n} |}{| \vec{u} | | \vec{n} |} = \frac{6}{3 \times 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow θ = 45^{\circ}$

- Vector chỉ phương của d: $\vec{u} = (7; - 8; - 15)$

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\vec{n} = (2; 2; 0)$

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 7 \times 2 + (- 8) \times 2 + (- 15) \times 0 = - 2$

$| \vec{u} | = \sqrt{7^{2} + {(- 8)}^{2} + {(- 15)}^{2}} = \sqrt{338}, | \vec{n} | = 2 \sqrt{2}$

$\sin θ = \frac{2}{\sqrt{338} \times 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{26} \Rightarrow θ = \sin^{- 1} (\frac{1}{26})$

- Vector chỉ phương của d: $\vec{u} = (3; - 1; 2)$

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\vec{n} = (6; - 2; 4)$

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 3 \times 6 + (- 1) \times (- 2) + 2 \times 4 = 28$

$| \vec{u} | = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{14}, | \vec{n} | = \sqrt{6^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56}$

$\sin θ = \frac{28}{\sqrt{14} \times \sqrt{56}} = \frac{28}{28} = 1 \Rightarrow θ = 90^{\circ}$