Giải bài tập 5.27 trang 59

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm (Ileft( {0;3; - 1} right)) và có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (left( P right):3x + 2y - z = 0).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I (0; 3; - 1)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y - z = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I (a; b; c)$ , bán kính R có phương trình ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $d (I; (P)) = \frac{| 3.0 + 2.3 - 1. (- 1) |}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ nên bán kính của mặt cầu (S) là $R = \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

Do đó, phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I (0; 3; - 1)$ và có bán kính $R = \frac{\sqrt{14}}{2}$ là: $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = \frac{7}{2}$ .