Giải bài tập 5.27 trang 71

Tính góc giữa các cặp mặt phẳng a) α:3x+4y+5z−1=0α:3x+4y+5z−1=0\alpha :3x + 4y + 5z - 1 = 0 và β:2x+y+z−3=0β:2x+y+z−3=0\beta :2x + y + z - 3 = 0 b) α:x−y+2z−1=0α:x−y+2z−1=0\alpha :x - y + 2z - 1 = 0 và β:x+2y−z+3=0β:x+2y−z+3=0\beta :x + 2y - z + 3 = 0 c) α:x+3y−2z−1=0α:x+3y−2z−1=0\alpha :x + 3y - 2z

Đề bài

Tính góc giữa các cặp mặt phẳng

a) $α : 3 x + 4 y + 5 z - 1 = 0$ và $β : 2 x + y + z - 3 = 0$

b) $α : x - y + 2 z - 1 = 0$ và $β : x + 2 y - z + 3 = 0$

c) $α : x + 3 y - 2 z - 1 = 0$ và $β : 4 x + 2 y + 5 z - 3 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ lần lượt có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C)$ và ${\vec{n}}^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó:

$\cos ((α), (β)) = | \frac{\vec{n} \cdot {\vec{n}}^{'}}{| \vec{n} | \cdot | {\vec{n}}^{'} |} | = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} \cdot \sqrt{{A^{'}}^{2} + {B^{'}}^{2} + {C^{'}}^{2}}}$

Lời giải chi tiết

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\vec{n_{1}} = (3; 4; 5)$

- Vector pháp tuyến của $β$ : $\vec{n_{2}} = (2; 1; 1)$

$\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 15$

$| \vec{n_{1}} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{50}, | \vec{n_{2}} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$

$\cos θ = \frac{15}{\sqrt{50} \times \sqrt{6}} = \frac{15}{\sqrt{300}} = \frac{15}{10 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow θ = 30^{\circ}$

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\vec{n_{1}} = (1; - 1; 2)$

- Vector pháp tuyến của $β$ : $\vec{n_{2}} = (1; 2; - 1)$

$\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 1 \times 1 + (- 1) \times 2 + 2 \times (- 1) = - 3$

$| \vec{n_{1}} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6}, | \vec{n_{2}} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{6}$

$\cos θ = \frac{3}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow θ \approx 60^{\circ}$

- Vector pháp tuyến của $α$ : $\vec{n_{1}} = (1; 3; - 2)$

- Vector pháp tuyến của $β$ : $\vec{n_{2}} = (4; 2; 5)$

$\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 1 \times 4 + 3 \times 2 + (- 2) \times 5 = 0$

Vì $\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}} = 0$ nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, hay hai mặt phẳng vuông góc với nhau.