Giải bài tập 5.28 trang 71

Đề bài

Cho tứ diện OABC có $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, ($a>0,b>0,c>0$). Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ lần lượt là các góc giữa các mặt phẳng $\left(OAB\right)$, $\left(OBC\right)$, $\left(OAC\right)$ với mặt phẳng $\left(ABC\right)$. Chứng minh rằng:

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1.$

Lời giải chi tiết

Độ dài của các vectơ pháp tuyến:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(OAB\right)$: $\overrightarrow{n_{OAB}}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(a,0,0)\times (0,b,0)=(0,0,ab)$.

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(OBC\right)$: $\overrightarrow{n_{OBC}}=\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}=(0,b,0)\times (0,0,c)=(bc,0,0)$.

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(OAC\right)$: $\overrightarrow{n_{OAC}}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OC}=(a,0,0)\times (0,0,c)=(0,ac,0)$.

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABC\right)$:

$\overrightarrow{n_{ABC}}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-a,b,0)\times (-a,0,c)=(bc,ac,ab)$.

Tính cosin của các góc:

- $\cos \alpha =\frac{|ab\cdot ab|}{ab\cdot \sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}=\frac{a^2{b}^2}{ab\cdot \sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}=\frac{ab}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}$.

- $\cos \beta =\frac{|bc\cdot bc|}{bc\cdot \sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}$.

- $\cos \gamma =\frac{|ac\cdot ac|}{ac\cdot \sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}=\frac{ac}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}$.

Tổng các bình phương:

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma ={\left(\frac{ab}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}\right)}^2+{\left(\frac{bc}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}\right)}^2+{\left(\frac{ac}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}}\right)}^2$

$=\frac{a^2{b}^2}{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}+\frac{b^2{c}^2}{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}+\frac{a^2{c}^2}{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}.$

$=\frac{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}{a^2{b}^2+b^2{c}^2+a^2{c}^2}=1.$

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1.$