Giải bài tập 5.29 trang 71

Đề bài

Một khuôn nướng bánh mì được mô phỏng trong không gian Oxyz như Hình 5.30 với các điểm sau: $S(0;0;0)$, $P(8;0;0)$, $Q(8;18;0)$, $T(-1;-1;7)$, $R(9;19;7)$. Tính góc giữa hai cạnh kề nhau, giữa cạnh bên và mặt đáy, giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.

Lời giải chi tiết

- Tính góc giữa hai cạnh kề nhau:

Ta có các vectơ chỉ phương sau:

$\overrightarrow{SP}=P-S=(8-0;0-0;0-0)=(8;0;0)$

$\overrightarrow{SQ}=Q-S=(8-0;18-0;0-0)=(8;18;0)$

$\overrightarrow{ST}=T-S=(-1-0;-1-0;7-0)=(-1;-1;7)$

$\overrightarrow{SH}=\overrightarrow{PQ}=(0;18;0)$

$\overrightarrow{SE}=(9;-1;7)$

Góc giữa những cặp cạnh kề nhau:

$\begin{array}{c}\cos (\overrightarrow{SP},\overrightarrow{ST})=\frac{8.(-1)+0.(-1)+0.(-7)}{\sqrt{8^2}.\sqrt{{(-1)}^2+{(-1)}^2+{(-7)}^2}}=\frac{-8}{8.\sqrt{51}}=\frac{-1}{\sqrt{51}}\Rightarrow (\overrightarrow{SP},\overrightarrow{ST})\approx {98}^{\circ }\\ \iff (\overrightarrow{PS},\overrightarrow{PE})=(\overrightarrow{HQ},\overrightarrow{HK})=(\overrightarrow{QH},\overrightarrow{QR})\approx {98}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{c}\cos (\overrightarrow{EP},\overrightarrow{ER})=\frac{(-1).\left(0\right)+\left(1\right).\left(2\right)+(-7).\left(0\right)}{\sqrt{{(-1)}^2+1^2+{(-7)}^2}.\sqrt{0^2+2^2+0^2}}=\frac{2}{\sqrt{51}.2}=\frac{1}{\sqrt{51}}\Rightarrow (\overrightarrow{EP},\overrightarrow{ER})\approx {82}^{\circ }\\ \iff (\overrightarrow{RE},\overrightarrow{RQ})=(\overrightarrow{TS},\overrightarrow{TK})=(\overrightarrow{KT},\overrightarrow{KH})\approx {82}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{c}\cos (\overrightarrow{ET},\overrightarrow{EP})=\frac{(-10).(-1)+\left(0\right).\left(1\right)+\left(0\right).(-7)}{\sqrt{{(-10)}^2+0^2+0^2}.\sqrt{{(-1)}^2+1^2+{(-7)}^2}}=\frac{10}{10.\sqrt{51}}=\frac{1}{\sqrt{51}}\Rightarrow (\overrightarrow{ET},\overrightarrow{EP})\approx {82}^{\circ }\\ \iff (\overrightarrow{TE},\overrightarrow{TS})=(\overrightarrow{KH},\overrightarrow{KR})=(\overrightarrow{RK},\overrightarrow{RQ})\approx {82}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{c}\cos (\overrightarrow{PE},\overrightarrow{PQ})=\frac{\left(1\right).\left(0\right)+(-1).\left(18\right)+\left(7\right).\left(0\right)}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2+7^2}.\sqrt{0^2+{18}^2+0^2}}=\frac{-18}{\sqrt{51}.18}=\frac{-1}{\sqrt{51}}\Rightarrow (\overrightarrow{PE},\overrightarrow{PQ})\approx {98}^{\circ }\\ \iff (\overrightarrow{QP},\overrightarrow{QR})=(ST,\overrightarrow{SH})=(\overrightarrow{HS},\overrightarrow{HK})\approx {98}^{\circ }\end{array}$

$\cos (\overrightarrow{SP},\overrightarrow{SH})=\frac{8.\left(0\right)+0.\left(18\right)+0.\left(0\right)}{\sqrt{8^2}.\sqrt{0^2+{18}^2+0^2}}=0\Rightarrow (\overrightarrow{SP},\overrightarrow{SH})={90}^{\circ }$

$\cos (\overrightarrow{PS},\overrightarrow{PQ})=\frac{(-8).\left(0\right)+0.\left(18\right)+0.\left(0\right)}{\sqrt{{(-8)}^2}.\sqrt{0^2+{18}^2+0^2}}=0\Rightarrow (\overrightarrow{PS},\overrightarrow{PQ})={90}^{\circ }$

Các cặp cạnh còn lại có số đo góc là 90°

- Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Chọn một cạnh bên là ST.

Vectơ pháp tuyến của mặt đáy SPQH là:

$\vec{n}=\overrightarrow{SP}\times \overrightarrow{SQ}=(0.0-0.18;0.8-8.0;8.18-0.8)=(0;0;144)$

$\Rightarrow \theta =\arccos \left(\frac{7}{\sqrt{51}}\right)$

- Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của khuôn.

Chọn mặt bên là STEP

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng STEP là:

$\overrightarrow{n_{STEP}}=\overrightarrow{SP}.\overrightarrow{ST}=(0.7-0.(-1);0.(-1)-8.7;8.(-1)-0.(-1\left)\right)=(0;-56;-8)$

Góc giữa mặt bên STEP và mặt đáy SPQH là:

$\cos \theta =\frac{\left|0.0+0.(-56)+144.(-8)\right|}{\sqrt{{144}^2}.\sqrt{{(-56)}^2+{(-8)}^2}}=\frac{1208}{144.40\sqrt{2}}=\frac{151}{720\sqrt{2}}\Rightarrow \theta \approx {81}^{\circ }$