Giải bài tập 5.3 trang 39

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm (Mleft( {1; - 1;5} right)) và vuông góc với hai mặt phẳng (left( Q right):3x + 2y - z = 0), (left( R right):x + y - z = 0).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (1; - 1; 5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(Q) : 3 x + 2 y - z = 0$ , $(R) : x + y - z = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\vec{n_{Q}} = (3; 2; - 1)$ , $\vec{n_{R}} = (1; 1; - 1)$ .

$[\vec{n_{Q}}, \vec{n_{R}}]$

$= (| \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & 3 \\ - 1 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} |)$

$= (- 1; 2; 1)$ .

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận $[\vec{n_{Q}}, \vec{n_{R}}] = (- 1; 2; 1)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M (1; - 1; 5)$ nên phương trình (P) là:

$- 1 (x - 1) + 2 (y + 1) + 1 (z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow - x + 2 y + z - 2 = 0$ .