Giải bài tập 5.31 trang 77

Đề bài

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) $x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = 1$

b) $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 4$

c) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x - 2 y + 1 = 0$

d) $3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} - 6 x + 8 y + 15 z - 3 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình của mặt cầu có tâm $I (a, b, c)$ và bán kính $R$ có dạng:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

- Nếu phương trình đã ở dạng chuẩn, xác định $a$ , $b$ , $c$ và $R$ từ phương trình.

- Nếu phương trình chưa chuẩn, đưa về dạng chuẩn bằng cách hoàn phương cho các biến $x$ , $y$ , $z$ .

Lời giải chi tiết

a) $x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = 1$

Từ phương trình, ta có:

- Tâm $I (0, 3, - 2)$

- Bán kính $R = \sqrt{1} = 1$

b) $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 4$

Từ phương trình, ta có:

- Tâm $I (2, 3, 0)$

- Bán kính $R = \sqrt{4} = 2$

c) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x - 2 y + 1 = 0$

Ta có: $(x^{2} - 8 x) + (y^{2} - 2 y) + z^{2} = - 1$

- $x$ : $x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$

- $y$ : $y^{2} - 2 y = (y - 1)^{2} - 1$

- Phương trình trở thành:

$(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 16 + 1 - 1 = 16$

- Tâm $I (4, 1, 0)$

- Bán kính $R = \sqrt{16} = 4$

d) $3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} - 6 x + 8 y + 15 z - 3 = 0$

Chia cả hai vế cho 3: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + \frac{8}{3} y + 5 z = 1$

- $x$ : $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$

- $y$ : $y^{2} + \frac{8}{3} y = {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

- $z$ : $z^{2} + 5 z = {(z + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

- Phương trình trở thành:

$(x - 1)^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} + {(z + \frac{5}{2})}^{2} = 1 + 1 + \frac{16}{9} + \frac{25}{4} = \frac{79}{36}$

- Tâm $I (1, - \frac{4}{3}, - \frac{5}{2})$

- Bán kính $R = \sqrt{\frac{79}{36}} = \frac{\sqrt{79}}{6}$