Giải bài tập 5.32 trang 77

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Có tâm $I (- 4; 0; 5)$ và bán kính $r = \sqrt{6}$ ;

b) Đi qua điểm $A (5; - 2; - 1)$ và có tâm $C (2; 1; 5)$ ;

c) Có đường kính AB với $A (- 4; 3; 7)$ và $B (2; 1; - 3)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Phương trình mặt cầu có tâm $I (a, b, c)$ và bán kính $R$ :

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

2. Xác định bán kính:

- Sử dụng độ dài bán kính $r$ nếu đã cho.

- Nếu biết một điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ nằm trên mặt cầu và tâm $C$ , tính $R$ bằng cách:

$R = \sqrt{{(x_{1} - a)}^{2} + {(y_{1} - b)}^{2} + {(z_{1} - c)}^{2}}$

- Nếu biết đường kính AB, tính bán kính bằng cách:

$R = \frac{1}{2} \cdot A B$

Lời giải chi tiết

a) Tâm $I (- 4; 0; 5)$ và bán kính $r = \sqrt{6}$ . Phương trình mặt cầu là:

$(x + 4)^{2} + y^{2} + (z - 5)^{2} = 6$

b) Đi qua điểm $A (5; - 2; - 1)$ và có tâm $C (2; 1; 5)$ . - Tính bán kính $R = C A$ :

$R = \sqrt{{(5 - 2)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2} + {(- 1 - 5)}^{2}} = \sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6}$

- Phương trình mặt cầu là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 5)^{2} = 54$

c) Có đường kính AB với $A (- 4; 3; 7)$ và $B (2; 1; - 3)$ .

- Tọa độ tâm $I$ là trung điểm của AB:

$I = (\frac{- 4 + 2}{2}, \frac{3 + 1}{2}, \frac{7 - 3}{2}) = (- 1, 2, 2)$

- Bán kính $R = \frac{1}{2} A B$ :

$A B = \sqrt{{(2 + 4)}^{2} + {(1 - 3)}^{2} + {(- 3 - 7)}^{2}} = \sqrt{6^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 10)}^{2}} = \sqrt{36 + 4 + 100} = \sqrt{140} = 2 \sqrt{35}$

$R = \frac{2 \sqrt{35}}{2} = \sqrt{35}$

- Phương trình mặt cầu là:

$(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 35$