Giải bài tập 5.34 trang 127

Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDAD + BC = AB + CD.

Đề bài

Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng $A D + B C = A B + C D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh AD, AB, BC, CD là các tiếp tuyến của (O).

+ Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để chỉ ra $A Q = A M$ , $B M = B N$ , $C N = C P$ , $Q D = D P$ .

+ Ta có: $A D + B C$ $= A Q + D Q + B N + N C$ $= A M + D P + B M + P C$ $= A B + D C$ .

Lời giải chi tiết

Vì AD tiếp xúc với (O) tại Q nên AD là tiếp tuyến của (O) với Q là tiếp điểm.

Tương tự ta có: AB, BC, CD là các tiếp tuyến của (O).

Vì AQ và AM là tiếp tuyến của (O) nên $A Q = A M$ .

Tương tự ta có: $B M = B N$ , $C N = C P$ , $Q D = D P$ .

Ta có: $A D + B C$ $= A Q + D Q + B N + N C$ $= A M + D P + B M + P C$ $= (A M + B M) + (D P + P C)$ $= A B + D C$ .