Giải bài tập 5.35 trang 127

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn với MO=2RMO=2RMO = 2R, vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc (O) tại A và B. Viết công thức tính phần diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB theo R.

Đề bài

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn với $M O = 2 R$ , vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc (O) tại A và B. Viết công thức tính phần diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB theo R.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tính số đo góc AOM, từ đó tính được góc AOB, từ đó tính được số đo cung nhỏ AB.

+ Chứng minh $Δ O A M = Δ O B M (c . g . c)$ , suy ra $S_{Δ O A M} = S_{Δ O B M}$ nên $S_{O A M B} = S_{Δ O A M} + S_{Δ O B M} = 2 S_{Δ O A M}$ .

+ Diện tích hình quạt tâm O, cung nhỏ AB là: $S_{q} = \frac{π . O A^{2} . s đ {\overset{⌢}{A B}}_{n h ỏ}}{360^{o}}$ .

+ Diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB là: $S = S_{O A M B} - S_{q}$ .

Lời giải chi tiết

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên

+ $M A = M B$ .

+ OA là tia phân giác của góc AOB, suy ra $\hat{A O M} = \hat{M O B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}$ .

Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên $M A ⊥ A O$ nên $Δ A O M$ vuông tại A. Suy ra:

+ $A M = \sqrt{M O^{2} - A O^{2}} = \sqrt{{(2 R)}^{2} - R^{2}} = \sqrt{3} R$ .

+ $\cos A O M = \frac{O A}{O M} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$ nên $\hat{A O M} = 60^{o}$ , suy ra $\hat{A O B} = {2.60}^{o} = 120^{o}$ .

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên số đo cung nhỏ AB bằng 120 độ.

Vì tam giác AOM vuông tại A nên

$S_{A O M} = \frac{1}{2} O A . A M = \frac{1}{2} . R . R \sqrt{3} = \frac{R^{2} \sqrt{3}}{3}$ .

Tam giác OAM và tam giác OBM có:

$O A = O B$ (= bán kính (O)),

$O M$ chung,

$\hat{A O M} = \hat{M O B} (c m t)$

Do đó, $Δ O A M = Δ O B M (c . g . c)$ .

Suy ra, $S_{O A M B} = S_{Δ O A M} + S_{Δ O B M} = 2 S_{Δ O A M} = \frac{2 R^{2} \sqrt{3}}{3}$ .

Diện tích hình quạt tâm O, cung nhỏ AB là:

$S_{q} = \frac{π . O A^{2} . s đ {\overset{⌢}{A B}}_{n h ỏ}}{360} = \frac{π . R^{2} .120}{360} = \frac{π . R^{2}}{3}$ .

Diện tích nằm ngoài đường tròn (O) của tứ giác MAOB là: $S = S_{O A M B} - S_{q} = \frac{2 R^{2} \sqrt{3}}{3} - \frac{π . R^{2}}{3} = \frac{R^{2}}{3} (2 \sqrt{3} - π)$ .