Giải bài tập 5.35 trang 84

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa: a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD); b) Hai đường thẳng AB và CD; c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Đề bài

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:

a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);

b) Hai đường thẳng AB và CD;

c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Công thức góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos θ = \frac{| \vec{n_{A B C}} \cdot \vec{n_{B C D}} |}{| \vec{n_{A B C}} | | \vec{n_{B C D}} |}$

- Công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos θ = \frac{| \vec{A B} \cdot \vec{C D} |}{| \vec{A B} | | \vec{C D} |}$

- Công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$\cos θ = \frac{| \vec{A B} \cdot \vec{n_{B C D}} |}{| \vec{A B} | | \vec{n_{B C D}} |}$

Lời giải chi tiết

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

$\vec{A B} = B - A = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (- 1, 1, 0)$

$\vec{A C} = C - A = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (- 1, 0, 1)$

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

$\vec{n_{A B C}} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (1.1 - 0.0, 0. (- 1) - (- 1) .1, (- 1) .0 - 1. (- 1)) = (1, 1, 1)$

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

$\vec{B C} = C - B = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, - 1, 1)$

$\vec{B D} = D - B = (- 2 - 0, 1 - 1, - 1 - 0) = (- 2, 0, - 1)$

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:

$\vec{n_{B C D}} = \vec{B C} \times \vec{B D} = ((- 1) . (- 1) - 1.0, 1. (- 2) - 0. (- 1), 0.0 - (- 1) . (- 2)) = (1, - 2, - 2)$

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\vec{n_{A B C}} \cdot \vec{n_{B C D}} = (1, 1, 1) \cdot (1, - 2, - 2) = 1 \times 1 + 1 \times (- 2) + 1 \times (- 2) = - 3$

- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:

$| n_{A B C} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}, | n_{B C D} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$

- Tính góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos θ = \frac{| - 3 |}{\sqrt{3} \times 3} = \frac{3}{3 \sqrt{3}} \Rightarrow θ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}})$

- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:

$\vec{A B} = (- 1, 1, 0)$

- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:

$\vec{C D} = D - C = (- 2 - 0, 1 - 0, - 1 - 1) = (- 2, 1, - 2)$

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:

$\vec{A B} \cdot \vec{C D} = (- 1, 1, 0) \cdot (- 2, 1, - 2) = (- 1 \times - 2) + (1 \times 1) + (0 \times - 2) = 2 + 1 = 3$

- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:

$| \vec{A B} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}, | \vec{C D} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9} = 3$

- Tính góc giữa hai đường thẳng:

$\cos θ = \frac{3}{\sqrt{2} \times 3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow θ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$

- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):

$\vec{A B} \cdot \vec{n_{B C D}} = (- 1, 1, 0) \cdot (1, - 2, - 2) = - 1 \times 1 + 1 \times (- 2) + 0 \times (- 2) = - 3$

- Tính độ dài của các vectơ:

$| \vec{A B} | = \sqrt{2}, | n_{B C D} | = 3$

- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$\cos θ = \frac{3}{\sqrt{2} \times 3} = \frac{3}{3 \sqrt{2}} \Rightarrow θ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$