Giải bài tập 5.35 trang 84

Đề bài

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(−2; 1; −1). Tìm góc giữa:

a) Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD);

b) Hai đường thẳng AB và CD;

c) Đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Lời giải chi tiết

a)

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,1-0,0-0)=(-1,1,0)$

$\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,0-0,1-0)=(-1,0,1)$

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

$\overrightarrow{n_{ABC}}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1.1-0.0,0.(-1)-(-1).1,(-1).0-1.(-1\left)\right)=(1,1,1)$

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) được tính bằng tích chéo của hai vectơ trong mặt phẳng:

$\overrightarrow{BC}=C-B=(0-0,0-1,1-0)=(0,-1,1)$

$\overrightarrow{BD}=D-B=(-2-0,1-1,-1-0)=(-2,0,-1)$

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là:

$\overrightarrow{n_{BCD}}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BD}=\left(\right(-1).(-1)-1.0,1.(-2)-0.(-1),0.0-(-1).(-2\left)\right)=(1,-2,-2)$

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot \overrightarrow{n_{BCD}}=(1,1,1)\cdot (1,-2,-2)=1\times 1+1\times (-2)+1\times (-2)=-3$

- Tính độ dài của các vectơ pháp tuyến:

$|n_{ABC}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3},|n_{BCD}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

- Tính góc giữa hai mặt phẳng:

$\cos \theta =\frac{|-3|}{\sqrt{3}\times 3}=\frac{3}{3\sqrt{3}}\Rightarrow \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

b)

- Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$

- Vecto chỉ phương của đường thẳng CD là:

$\overrightarrow{CD}=D-C=(-2-0,1-0,-1-1)=(-2,1,-2)$

- Tính tích vô hướng giữa hai vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=(-1,1,0)\cdot (-2,1,-2)=(-1\times -2)+(1\times 1)+(0\times -2)=2+1=3$

- Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(-1)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2},|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{{(-2)}^2+1^2+{(-2)}^2}=\sqrt{9}=3$

- Tính góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)={45}^{\circ }$

c)

- Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD):

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_{BCD}}=(-1,1,0)\cdot (1,-2,-2)=-1\times 1+1\times (-2)+0\times (-2)=-3$

- Tính độ dài của các vectơ:

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2},|n_{BCD}|=3$

- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{2}\times 3}=\frac{3}{3\sqrt{2}}\Rightarrow \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)={45}^{\circ }$