Giải bài tập 5.36 trang 127

Đề bài

Cho hai đường tròn tâm O và I cắt nhau tại M và N. Vẽ một đường thẳng qua M cắt (O) tại A và cắt (I) tại B, một đường thẳng qua N cắt (O) tại C và (I) tại D. Chứng minh rằng AC//BD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{N M B} + \hat{N D B}$ $= \frac{1}{2} (s đ \overset{⌢}{N D B} + s đ \overset{⌢}{N M B})$ $= \frac{1}{2} {.360}^{o}$ $= 180^{o}$ .

+ Chứng minh $\hat{A C N} + \hat{A M N} = 180^{o}$ , $\hat{N M B} + \hat{A M N} = 180^{o}$ nên $\hat{A C N} = \hat{N M B}$

+ Do đó, $\hat{A C N} + \hat{N D B} = 180^{o}$ .

+ Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Do đó: $\hat{B D E} + \hat{N D B} = 180^{o}$ .

Suy ra $\hat{A C N} = \hat{B D E}$ nên AC//BD.

Lời giải chi tiết

Xét (I): Vì NMB là góc nội tiếp chắn cung NDB nên $\hat{N M B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{N D B}$ .

Vì NDB là góc nội tiếp chắn cung NMB nên $\hat{N D B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⌢}{N M B}$ .

Do đó, $\hat{N M B} + \hat{N D B}$ $= \frac{1}{2} (s đ \overset{⌢}{N D B} + s đ \overset{⌢}{N M B})$ $= \frac{1}{2} {.360}^{o}$ $= 180^{o}$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: $\hat{A C N} + \hat{A M N} = 180^{o}$ .

Mà $\hat{N M B} + \hat{A M N} = 180^{o}$ nên $\hat{A C N} = \hat{N M B}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{A C N} + \hat{N D B} = 180^{o}$ .

Gọi E là giao điểm của AB và CD.

Do đó: $\hat{B D E} + \hat{N D B} = 180^{o}$

Suy ra $\hat{A C N} = \hat{B D E}$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó, AC//BD.