Giải bài tập 5.37 trang 84

Cho mặt phẳng (αα\alpha ): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2). a) Viết phương trình mặt phẳng (ββ\beta ) chứa điểm M và song song với (αα\alpha ). b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (αα\alpha ).

Đề bài

Cho mặt phẳng ( $α$ ): 2x − y + 2z + 11 = 0 và điểm M(1; −1; 2).

a) Viết phương trình mặt phẳng ( $β$ ) chứa điểm M và song song với ( $α$ ).

b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( $α$ ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mặt phẳng $(β)$ song song với $(α)$ nên sẽ có cùng vectơ pháp tuyến với $(α)$ .

b) Khoảng cách từ một điểm $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ đến mặt phẳng có phương trình $a x + b y + c z + d = 0$ được tính bằng công thức:

$d = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 11 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ .

Vì mặt phẳng $(β)$ song song với $(α)$ , nên nó cũng có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, - 1, 2)$ . Do đó, phương trình của mặt phẳng $(β)$ có dạng:

$2 x - y + 2 z + D = 0$

trong đó D là hằng số cần tìm. Vì $(β)$ chứa điểm $M (1; - 1; 2)$ , ta thay tọa độ của M vào phương trình của $(β)$ :

$2 \cdot 1 - (- 1) + 2 \cdot 2 + D = 0$

$2 + 1 + 4 + D = 0$

$7 + D = 0 \Rightarrow D = - 7$

Vậy phương trình của mặt phẳng $(β)$ là:

$2 x - y + 2 z - 7 = 0$

Khoảng cách từ điểm $M (1; - 1; 2)$ đến mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 11 = 0$ được tính bằng công thức:

$d = \frac{| 2 \cdot 1 - (- 1) + 2 \cdot 2 + 11 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}}$ $2 \cdot 1 + 1 + 2 \cdot 2 + 11 = 2 + 1 + 4 + 11 = 18$

$\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(α)$ là:

$d = \frac{18}{3} = 6$