Giải bài tập 5.38 trang 84

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7). a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S). b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

Đề bài

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7).

a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đường kính AB. Giả sử $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ và $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , thì tọa độ của $I$ là:

$I (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}, \frac{z_{1} + z_{2}}{2})$

- Bán kính $r$ của mặt cầu bằng nửa độ dài của đoạn AB. Công thức tính độ dài đoạn AB là:

$A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

Vậy bán kính $r$ là: $r = \frac{A B}{2}$

Phương trình của mặt cầu có tâm $I (a, b, c)$ và bán kính $r$ là:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$

Lời giải chi tiết

Tâm $I$ là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của $I$ là:

$I (\frac{6 + (- 4)}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{- 5 + 7}{2}) = I (\frac{2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{2}) = I (1; 1; 1)$

Độ dài đoạn AB được tính như sau:

$A B = \sqrt{{(6 - (- 4))}^{2} + {(2 - 0)}^{2} + {(- 5 - 7)}^{2}}$

$= \sqrt{{(6 + 4)}^{2} + 2^{2} + {(- 5 - 7)}^{2}}$

$= \sqrt{10^{2} + 2^{2} + {(- 12)}^{2}}$

$= \sqrt{100 + 4 + 144} = \sqrt{248} = 2 \sqrt{62}$

Vậy bán kính $r$ là:

$r = \frac{A B}{2} = \frac{2 \sqrt{62}}{2} = \sqrt{62}$