Giải bài tập 5.39 trang 128

Đề bài

Trong Hình 5.76, hai puly có dạng hình tròn tâm A bán kính 12,5cm và tâm B bán kính 7cm được nối bằng dây curoa. Khoảng cách giữa tâm của hai puly là $A B = 30 c m$ . Đoạn dây CD, EF tiếp xúc với cả hai puly. Tính:

a) Độ dài CD và số đo các góc của tứ giác ABCD;

b) Độ dài dây curoa.

Làm tròn độ dài đến hàng phần mười centimét, số đo góc đến phút.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Kẻ BG vuông góc với AD tại G.

+ Chứng minh tứ giác BCDG là hình chữ nhật suy ra $C D = B G$ , $B C = D G$

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABG vuông tại G để tính BG, AG; tính cos GAB, từ đó tính góc GAB.

+ Tứ giác ABCD có: $\hat{C} + \hat{D} + \hat{D A B} + \hat{A B C} = 360^{o}$ , từ đó tính được góc ABC.

b) + Tính số đo cung lớn FD, số đo cung nhỏ CE.

+ Tính độ dài cung lớn FD, độ dài cung nhỏ CE.

+ Độ dài dây curoa là: $l_{D F} + l_{C E} + C D + E F$ .

Lời giải chi tiết

Kẻ BG vuông góc với AD tại G. Suy ra: $\hat{B G D} = \hat{B G A} = 90^{o}$ .

Vì CD là tiếp tuyến của hai đường tròn (B) và (A) nên $B C ⊥ C D, C D ⊥ A D$ nên $\hat{B C D} = \hat{C D G} = 90^{o}$ .

Tứ giác BGDC có: $\hat{B C D} = \hat{C D G} = \hat{B G D} = 90^{o}$ nên tứ giác BGDC là hình chữ nhật.

Do đó, $C D = B G$ , $B C = D G = 7 c m$ .

Tam giác BGA vuông tại G nên:

+ $\cos G A B = \frac{G A}{A B} = \frac{D A - G D}{A B} = \frac{5, 5}{30} = \frac{11}{60}$ nên $\hat{G A B} \approx 79^{o} 26^{'}$

+ $B G^{2} + G A^{2} = A B^{2}$ ,

$B G = \sqrt{A B^{2} - {(A D - D G)}^{2}} = \sqrt{30^{2} - {(12, 5 - 7)}^{2}} = \frac{7 \sqrt{71}}{2} (c m)$

nên $C D = \frac{7 \sqrt{71}}{2} c m$

Chứng minh tương tự ta có: $E F = \frac{7 \sqrt{71}}{2} c m$

Tứ giác ABCD có: $\hat{C} + \hat{D} + \hat{D A B} + \hat{A B C} = 360^{o}$

$\hat{A B C} = 360^{o} - (\hat{C} + \hat{D} + \hat{D A B}) \approx 360^{o} - (90^{o} + 90^{o} + 79^{o} 26^{'}) \approx 100^{o} 34^{'}$

b) Chứng minh tương tự phần a ta có:

$\hat{F A B} \approx 79^{o} 26^{'}$ , $\hat{E B F} \approx 100^{o} 34^{'}$

Do đó, $\hat{D A F} = \hat{D A B} + \hat{F A B} \approx 158^{o} 52^{'}$ .

Do đó, số đo cung nhỏ DF là: $158^{o} 52^{'}$ .

Suy ra, số đo cung lớn DF là:

$360^{o} - 158^{o} 52^{'} = 201^{o} 8^{'}$

Số đo cung CE nhỏ là: $158^{o} 52^{'}$ .

Độ dài cung lớn DF là:

$l_{D F} = \frac{π {.12 .201}^{o} 8^{'}}{180^{o}} = \frac{3017 π}{225} (c m)$

Độ dài cung nhỏ CE là:

$l_{C E} = \frac{π .7, {5.158}^{o} 52^{'}}{180} = \frac{2383 π}{360} (c m)$

Độ dài dây curoa là:

$l_{D F} + l_{C E} + C D + E F \approx \frac{3017 π}{225} + \frac{2383 π}{360} + 2. \frac{7 \sqrt{71}}{2} \approx 121, 9 (c m)$