Giải bài tập 5.39 trang 84

Đề bài

Người ta mô phỏng thiết kế của một bình chứa nhiên liệu có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều trong hệ trục Oxyz như Hình 5.39 với $S (0; 0; 0)$ , $P (10; 0; 0)$ , $Q (10; 10; 0)$ , $R (8; 8; 12)$ , $T (2; 2; 12)$ .

a) Viết phương trình các mặt phẳng chứa các mặt bên của bình.

b) Tính $\sin$ của góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

c) Tính $\cos$ của góc giữa các mặt bên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để viết phương trình mặt phẳng chứa ba điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , và $C (x_{3}, y_{3}, z_{3})$ 1. Tính hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ :

$\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}), \vec{A C} = (x_{3} - x_{1}, y_{3} - y_{1}, z_{3} - z_{1}) .$

2. Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng bằng tích có hướng của $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ :

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} .$

3. Gọi $\vec{n} = (A, B, C)$ , phương trình mặt phẳng sẽ là

$A (x - x_{1}) + B (y - y_{1}) + C (z - z_{1}) = 0.$

b) Tính $\sin θ$ bằng công thức: $\sin θ = \frac{| \vec{S T} \cdot {\vec{n}}_{d \' a y} |}{| \vec{S T} | \cdot | {\vec{n}}_{d \' a y} |} .$

c) Tính $\cos θ$ bằng công thức: $\cos θ = \frac{| {\vec{n}}_{S P A T} \cdot {\vec{n}}_{S H B T} |}{| {\vec{n}}_{S P A T} | \cdot | {\vec{n}}_{S H B T} |} .$

Lời giải chi tiết

Dựa vào hình ta có toạ độ các điểm còn lại như sau:

$A (8; 2; 12)$ , $B (2; 8; 12)$ , $H (0; 10; 0)$

* Mặt phẳng APST:

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

$\vec{S T} = (2; 2; 12), \vec{S P} = (10; 0; 0)$

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

$\vec{n_{A P S T}} = \vec{S P} \times \vec{S T} = (0.12 - 0.2; 0.2 - 10.12; 10.2 - 0.2) = (0; - 120; 20)$

- Phương trình mặt phẳng APST là:

$0. (x - 0) - 120. (y - 0) + 20 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 120 y + 20 z = 0 \Leftrightarrow - 6 y + z = 0$

* Mặt phẳng BHQR

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

$\vec{H B} = (2; - 2; 12), \vec{H Q} = \vec{S P} = (10; 0; 0)$

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

$\vec{n_{B H Q R}} = \vec{H Q} \times \vec{H B} = (0.12 - 0. (- 2); 0.2 - 10.12; 10. (- 2) - 0.2) = (0; - 120; - 20)$

- Phương trình mặt phẳng BHQR là:

$0. (x - 10) - 120. (y - 10) - 20 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 120 y - 20 z + 1200 = 0 \Leftrightarrow - 6 y - z + 60 = 0$

* Mặt phẳng STBH

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

$\vec{S T} = (2; 2; 12), \vec{S H} = (0; 10; 0)$

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

$\vec{n_{S T B H}} = \vec{S H} \times \vec{S T} = (10.12 - 0.2; 0.2 - 0.12; 0.2 - 10.2) = (120; 0; - 20)$

- Phương trình mặt phẳng STBH là:

$120. (x - 0) + 0. (y - 0) - 20 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 120 x - 20 z = 0 \Leftrightarrow 6 x - z = 0$

* Mặt phẳng ARQT

- Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

$\vec{P A} = (- 2; 2; 12), \vec{P Q} = \vec{S H} = (0; 10; 0)$

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

$\vec{n_{A R Q T}} = \vec{P Q} \times \vec{P A} = (10.12 - 0.2; 0. (- 2) - 0.12; 0.2 - 10. (- 2)) = (120; 0; 20)$

- Phương trình mặt phẳng ARQT là:

$120. (x - 10) + 0. (y - 0) + 20 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 120 x + 20 z - 1200 = 0 \Leftrightarrow 6 x + z - 60 = 0$

Chọn cạnh bên ST để xét.

Mặt phẳng đáy SHQP cũng chính là mặt phẳng Oxy: $z = 0$

Sin của góc giữa cạnh bên ST và mặt phẳng đáy SHQP là:

$\sin θ = \frac{| \vec{S T} \cdot {\vec{n}}_{S H Q P} |}{| \vec{S T} | \cdot | {\vec{n}}_{S H Q P} |} = \frac{| 12.1 |}{| \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 12^{2}} | . | \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} |} = \frac{12}{2 \sqrt{38} .1} = \frac{6}{\sqrt{38}}$

Vì đây là hình chóp cụt tứ giác đều nên cosin của góc giữa các mặt bên là:

$\cos θ = \frac{| {\vec{n}}_{S P A T} \cdot {\vec{n}}_{S H B T} |}{| {\vec{n}}_{S P A T} | \cdot | {\vec{n}}_{S H B T} |} = \frac{| 0.120 + (- 120) .0 + 20. (- 20) |}{| \sqrt{0^{2} + {(- 120)}^{2} + 20^{2}} | . | \sqrt{120^{2} + 0^{2} + {(- 20)}^{2}} |} = \frac{| - 400 |}{14800} = \frac{1}{37}$