Giải bài tập 5.4 trang 39

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (Mleft( {2;3; - 1} right)) song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (left( Q right):x + 2y - 3z + 1 = 0).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M (2; 3; - 1)$ , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng $(Q) : x + 2 y - 3 z + 1 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M (2; 3; - 1)$ song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta có: $\vec{n_{Q}} (1; 2; - 3)$ , trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\vec{n_{1}} (1; 0; 0)$ .

$[\vec{n_{Q}}, \vec{n_{1}}]$

$= (| \begin{matrix} 2 & - 3 \\ 0 & 0 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix} |)$

$= (0; - 3; - 2)$ .

Vì (P) song song với trục Ox và vuông góc với (Q) nên (P) nhận $[\vec{n_{Q}}, \vec{n_{1}}] = (0; - 3; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M (2; 3; - 1)$ nên phương trình (P) là:

$0 (x - 2) - 3 (y - 3) - 2 (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 3 y + 2 z - 7 = 0$ .