Giải bài tập 5.40 trang 113

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F) khác A. Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.46).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng $I K = \frac{1}{2} E F$ .

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh OO’KI là hình thang có 1 góc vuông.

b) Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng.

c) Hình thang OO’KI là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\hat{O I O^{'}} = 90^{\circ}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OAE cân tại O có OI là trung tuyến nên OI cũng là đường cao.

Tam giác O’AF cân tại O có O’K là trung tuyến nên O’K cũng là đường cao.

Suy ra: OI // O’K (vì cùng vuông góc với d)

Do đó: OO’KI là hình thang.

Mà: $\hat{O I A} = 90^{\circ}$

Vậy OO’KI là một hình thang vuông.

Vì I là trung điểm của AE nên $I A = \frac{1}{2} A E$

Vì K là trung điểm của AF nên $A K = \frac{1}{2} A F$

Suy ra: $I K = I A + A K = \frac{1}{2} A E + \frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} E F$

c) Hình thang OO’KI là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\hat{O I O^{'}} = 90^{\circ}$ hay $O I ⊥ O O^{'}$

Mà $d ⊥ O I$ nên $d / / O O^{'}$