Giải bài tập 5.40 trang 113

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F) khác A. Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.46).

 

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng $IK=\frac{1}{2}EF$.

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

Lời giải chi tiết

a) Tam giác OAE cân tại O có OI là trung tuyến nên OI cũng là đường cao.

Tam giác O’AF cân tại O có O’K là trung tuyến nên O’K cũng là đường cao.

Suy ra: OI // O’K (vì cùng vuông góc với d)

Do đó: OO’KI là hình thang.

Mà: $\widehat{OIA}={90}^{\circ }$

Vậy OO’KI là một hình thang vuông.

b)

Vì I là trung điểm của AE nên $IA=\frac{1}{2}AE$

Vì K là trung điểm của AF nên $AK=\frac{1}{2}AF$

Suy ra: $IK=IA+AK=\frac{1}{2}AE+\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}EF$

c) Hình thang OO’KI là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\widehat{OI{O}^{\prime }}={90}^{\circ }$ hay $OI\perp O{O}^{\prime }$

Mà $d\perp OI$ nên $d//O{O}^{\prime }$