Giải bài tập 5.40 trang 62

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 0; - 1), B (0; 1; 2), C (- 1; - 2; 3)$ .

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình đường thẳng AC.

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ .

b, c) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

c, d) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để xác định tâm và bán kính của mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I (a; b; c)$ , bán kính R có phương trình ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\vec{A B} = (- 1; 1; 3)$ , $(\vec{A C} (- 2; - 2; 4) \Rightarrow \frac{- 1}{2} \vec{A C} = (1; 1; - 2)$ .

a) Ta có: $[\vec{A B}, \frac{- 1}{2} \vec{A C}]$

$= (| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & - 2 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 2 & 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} |)$

$= (- 5; 1; - 2)$ .

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm $A (1; 0; - 1)$ và nhận $[\vec{A B}, \frac{- 1}{2} \vec{A C}] = (- 5; 1; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

$- 5 (x - 1) + y - 2 (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 5 x + y - 2 z + 3 = 0$ .

b) Đường thẳng AC đi qua điểm $A (1; 0; - 1)$ và nhận $\frac{- 1}{2} \vec{A C} = (1; 1; - 2)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ phương trình tham số đường thẳng AC là ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$ .

c) Gọi I là trung điểm của AC nên $I (0; - 1; 1)$ .

Mặt cầu đường kính AC có bán kính $R = \frac{A C}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{6}$ và tâm $I (0; - 1; 1)$ nên phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$ .

d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là $A (1; 0; - 1)$ và bán kính $A B = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{11}$ nên phương trình mặt cầu là:

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 11$ .