Giải bài tập 5.41 trang 62

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: (left{ begin{array}{l}x = 1 + ty = - 2 + tz = 4 - 2tend{array} right.). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 - 2 t \end{cases}$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

Nhận thấy điểm O không thuộc đường thẳng d.

Đường thẳng d đi qua điểm $A (1; - 2; 4)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 1; - 2)$ .

Ta có: $\vec{O A} = (1; - 2; 4)$ .

$[\vec{O A}; \vec{u}] = (| \begin{matrix} - 2 & 4 \\ 1 & - 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 4 & 1 \\ - 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} |) = (0; 6; 3) .$

Mặt phẳng (P) đi qua điểm $O (0; 0; 0)$ và nhận $[\vec{O A}; \vec{u}] = (0; 6; 3)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$0 (x - 0) + 6 (y - 0) + 3 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 6 y + 3 z = 0 \Leftrightarrow 2 y + z = 0$ .