Giải bài tập 5.42 trang 62

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x - 2 y + 2 z - 1 = 0$ và hai điểm $A (1; - 1; 2)$ , $B (- 1; 1; 0)$ .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ đến mặt phẳng $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ là $d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

b) Sử dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ thì có phương trình là:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

$\Leftrightarrow A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - (A x_{0} + B y_{0} + C z_{0})$ .

c) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ điểm A đến (P) là:

$d (A, (P)) = \frac{| 1.1 - 2. (- 1) + 2.2 - 1 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{6}{3} = 2$ .

b) Mặt phẳng (P) có $\vec{n_{P}} = (1; - 2; 2)$ là một vectơ pháp tuyến.

Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận vectơ $\vec{n_{P}} = (1; - 2; 2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà (Q) đi qua điểm A nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

$x - 1 - 2 (y + 1) + 2 (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 y + 2 z - 7 = 0$ .

c) Ta có: $\vec{A B} (- 2; 2; - 2) \Rightarrow \frac{- 1}{2} \vec{A B} = (1; - 1; 1)$

$[\vec{n_{P}}; \frac{- 1}{2} \vec{A B}] = (| \begin{matrix} - 2 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 \end{matrix} |) = (0; 1; 1)$

Mặt phẳng (R) đi qua điểm A và nhận vectơ $[\vec{n_{P}}; \frac{- 1}{2} \vec{A B}] = (0; 1; 1)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (R) là:

$y + 1 + z - 2 = 0 \Leftrightarrow y + z - 1 = 0$ .