Giải bài tập 5.43 trang 62

Trong không gian Oxyz, cho điểm (Aleft( {1;0;2} right)) và hai đường thẳng d: (frac{x}{1} = frac{{y - 1}}{2} = frac{z}{2}), (d':frac{{x + 1}}{2} = frac{{y + 2}}{2} = frac{{z - 3}}{{ - 1}}). a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’. b) Viết phương trình đường thẳng (Delta ) đi qua A và son

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (1; 0; 2)$ và hai đường thẳng d: $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{2}$ , $d^{'} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 1}$ .

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$ .

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

b) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

c) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

d) + Viết phương trình mặt phẳng (Oxz).

+ Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxz) theo t.

+ Thay tọa độ tính theo t vào phương trình mặt phẳng (Oxz) tìm t.

+ Tìm lại tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d nhận $\vec{u_{1}} (1; 2; 2)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $C (0; 1; 0)$ .

Đường thẳng d’ nhận $\vec{u_{2}} (2; 2; - 1)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $B (- 1; - 2; 3)$ .

Ta có: $\vec{C B} (- 1; - 3; 3)$ ;

$[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} |)$

$= (- 6; 5; - 2) \neq \vec{0}$ .

Vì $[\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}] . \vec{C B}$

$= (- 6) . (- 1) + 5. (- 3) + (- 2) .3$

$= 6 - 15 - 6 = - 15 \neq 0$ nên d, d’ chéo nhau.

b) Đường đường thẳng $Δ$ đi qua A và nhận $\vec{u_{1}} (1; 2; 2)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng $Δ$ là: ${\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$ .

c) Vì $\frac{1}{1} \neq \frac{0 - 1}{2}$ nên điểm $A (1; 0; 2)$ không thuộc đường thẳng d.

$C (0; 1; 0)$ , $\vec{u_{1}} (1; 2; 2)$ .

Ta có: $\vec{A C} (- 1; 1; - 2)$ ;

$[\vec{A C}; \vec{u_{1}}] = (| \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 2 & - 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} |)$

$= (6; 0; - 3)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua $A (1; 0; 2)$ và nhận $\frac{1}{3} [\vec{A C}; \vec{u_{1}}] = (2; 0; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$2 (x - 1) - (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x - z = 0$ .

d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: $y = 0$ .

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: ${\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 2 t \end{cases}$ . Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là $(t; 1 + 2 t; 2 t)$ .

Thay $x = t$ , $y = 1 + 2 t$ , $z = 2 t$ vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: $1 + 2 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{- 1}{2}$ .

Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: $(\frac{- 1}{2}; 0; - 1)$ .