Giải bài tập 5.43 trang 86

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1, với A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), A’(0; 0; 1).

a) Chứng minh $A^{\prime }C\perp \left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$.

b) Chứng minh $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)//\left(C^{\prime }BD\right)$và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$ và $\left(C^{\prime }BD\right)$.

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ và $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$.

Lời giải chi tiết

Các đỉnh còn lại có toạ độ là: $C(1;1;0)$, $B^{\prime }(0;1;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$, $D^{\prime }(1;0;1)$

a) Chứng minh $A^{\prime }C\perp \left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$

Véc-tơ pháp tuyến của $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$:

$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(0;1;1),\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(1;0;1)$

${\vec{n}}_{\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(1;1;-1)$

Mà ta có: $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(1;1;-1)$trùng với vec-tơ pháp tuyến của $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$

Vậy $A^{\prime }C\perp \left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$.

b) Chứng minh $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)\parallel \left(C^{\prime }BD\right)$ và tính khoảng cách

Véc-tơ pháp tuyến của $\left(C^{\prime }BD\right)$:

$\overrightarrow{C^{\prime }B}=(-1;0;-1),\overrightarrow{C^{\prime }D}=(0;-1;-1)$

${\vec{n}}_{\left(C^{\prime }BD\right)}=\overrightarrow{C^{\prime }B}\times \overrightarrow{C^{\prime }D}=(-1;-1;1)$

Hai véc-tơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)}$ và ${\vec{n}}_{\left(C^{\prime }BD\right)}$ cùng phương nên $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)\parallel \left(C^{\prime }BD\right)$.

* Khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

Chọn điểm $A(0,0,0)$ thuộc $\left(A{B}^{\prime }{D}^{\prime }\right)$.

Phương trình $\left(C^{\prime }BD\right)$: $1.(x-0)-1.(y-1)-(z-0)=0\iff x-y-z+1=0$.

$d=\frac{|0\cdot 1-0\cdot 1-0\cdot (-1)+1|}{\sqrt{{(-1)}^2+{(-1)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

c) Tính $\cos \theta$ giữa hai mặt phẳng $\left(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ và $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$

- Véc-tơ pháp tuyến của $\left(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$:

$\overrightarrow{D{A}^{\prime }}=(-1;0;1),\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(0;1;1)$

${\vec{n}}_{\left(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)}=\overrightarrow{D{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(-1;1;-1)$

Véc-tơ pháp tuyến của $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$:

$\overrightarrow{AB}=(0,1,0),\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,1)$

${\vec{n}}_{\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(1,0,0)$

Tính $\cos \theta$:

${\vec{n}}_{\left(D{A}^{\prime }{C}^{\prime }\right)}\cdot {\vec{n}}_{\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)}=(-1;1;-1)\cdot (1;0;0)=-1$

$\cos \theta =\frac{|-1|}{\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$