Giải bài tập 5.44 trang 62

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): (x - 2y - 2z - 3 = 0) và đường thẳng d: (frac{{x - 1}}{2} = frac{{y + 1}}{1} = frac{z}{{ - 1}}). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x - 2 y - 2 z - 3 = 0$ và đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d nhận $\vec{u_{1}} (2; 1; - 1)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A (1; - 1; 0)$ .

Mặt phẳng (P) nhận $\vec{n} (1; - 2; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến.

$[\vec{u_{1}}, \vec{n}] = (| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & 2 \\ - 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix} |)$

$= (- 4; 3; - 5)$ .

Vì mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $[\vec{u_{1}}, \vec{n}] = (- 4; 3; - 5)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà điểm $A (1; - 1; 0)$ thuộc mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

$- 4 (x - 1) + 3 (y + 1) - 5 z = 0$

$\Leftrightarrow - 4 x + 3 y - 5 z + 7 = 0$ .