Giải bài tập 5.45 trang 63

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}$ và $d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d nhận $\vec{u_{1}} (1; 2; - 1)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A (- 1; 1; 0)$ .

Đường thẳng d’ nhận $\vec{u_{2}} (1; 1; 2)$ làm một vectơ chỉ phương.

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]$

$= (| \begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} |)$

$= (5; - 3; - 1)$ .

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) nhận $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (5; - 3; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà điểm $A (- 1; 1; 0)$ thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

$5 (x + 1) - 3 (y - 1) - z = 0$

$\Leftrightarrow 5 x - 3 y - z + 8 = 0$ .