Giải bài tập 5.45 trang 86

Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

Đề bài

Cho hai điểm A(1; 3; 0) và B(5; 1; −2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có

phương trình là

A. $2 x - y - z + 5 = 0$

B. $2 x - y - z - 5 = 0$

C. $x + y + z - 3 = 0$

D. $3 x + 2 y - z - 4 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương trình mặt phẳng có dạng:

$n_{1} (x - x_{0}) + n_{2} (y - y_{0}) + n_{3} (z - z_{0}) = 0$

trong đó $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng và $(n_{1}, n_{2}, n_{3})$ là tọa độ của véc-tơ pháp tuyến.

Lời giải chi tiết

Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:

$M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2}) = (\frac{1 + 5}{2}; \frac{3 + 1}{2}; \frac{0 - 2}{2}) = (3; 2; - 1)$

Véc-tơ $\vec{A B}$ có tọa độ:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}) = (5 - 1; 1 - 3; - 2 - 0) = (4; - 2; - 2)$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn AB. Do đó, véc-tơ $\vec{A B}$ cũng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Vậy, véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng trung trực là:

$\vec{n} = (4, - 2, - 2)$

Gọi phương trình mặt phẳng trung trực là $4 x - 2 y - 2 z + D = 0$ . Vì mặt phẳng này đi qua trung điểm $M (3, 2, - 1)$ , nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng này:

$4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot (- 1) + D = 0$

$12 - 4 + 2 + D = 0$

$10 + D = 0 \Rightarrow D = - 10$

Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

$4 x - 2 y - 2 z - 10 = 0$

$2 x - y - z - 5 = 0$

Chọn B