Giải bài tập 5.46 trang 63

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): (x - y - z - 1 = 0), (Q): (2x + y - z - 2 = 0) và điểm (Aleft( { - 1;2;0} right)). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): $x - y - z - 1 = 0$ , (Q): $2 x + y - z - 2 = 0$ và điểm $A (- 1; 2; 0)$ . Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ .

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng (P) nhận $\vec{n_{1}} (1; - 1; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) nhận ${\vec{n}}_{2} (2; 1; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có: $[\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}]$

$= (| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} |, | \begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix} |, | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} |)$

$= (2; - 1; 3)$ .

Vì mặt phẳng (R) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên mặt phẳng (R) nhận $[\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}] = (2; - 1; 3)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà mặt phẳng (R) đi qua điểm $A (- 1; 2; 0)$ nên phương trình mặt phẳng (R) là:

$2 (x + 1) - (y - 2) + 3 z = 0$

$\Leftrightarrow 2 x - y + 3 z + 4 = 0$ .