Giải bài tập 5.46 trang 86

Đề bài

Cho mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm M(0; 0; −1), có cặp vectơ chỉ phương là $\vec{a} = (- 1; 2; - 3)$ và $\vec{b} = (3; 0; 5)$ . Phương trình của mặt phẳng $(α)$ là

A. $5 x - 2 y - 3 z - 21 = 0$

B. $- 5 x + 2 y + 3 z + 3 = 0$

C. $10 x - 4 y - 6 z + 21 = 0$

D. $5 x - 2 y - 3 z + 21$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giả sử mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ và có hai vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ . Khi đó:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ :

- Tìm tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ để có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ .

- Công thức tích có hướng là:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

2. Viết phương trình mặt phẳng:

- Gọi $\vec{n} = (A, B, C)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ .

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

- Thay tọa độ điểm $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ vào phương trình trên để hoàn tất phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

* Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ :

- Tính tích có hướng $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ :

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (2 \cdot 5 - (- 3) \cdot 0; (- 3) \cdot 3 - (- 1) \cdot 5; (- 1) \cdot 0 - 2 \cdot 3) = (10; - 4; - 6)$

- Vậy, vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng là $(10; - 4; - 6)$ .

* Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ :

- Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng:

$10 (x - 0) - 4 (y - 0) - 6 (z + 1) = 0$

$10 x - 4 y - 6 z - 6 = 0$

$5 x - 2 y - 3 z - 3 = 0$

Phương trình của mặt phẳng $(α)$ là:

$- 5 x + 2 y + 3 z + 3 = 0$

Chọn B