Giải bài tập 5.47 trang 63

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: (frac{{x + 2}}{1} = frac{{y + 3}}{2} = frac{{z - 3}}{{ - 2}}) và (d':left{ begin{array}{l}x = 1 - t\y = - 2 + t\z = 2tend{array} right.). a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’. b) Tính góc giữa d và d’.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2 t \end{cases}$ .

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Tính góc giữa d và d’.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt đi qua các điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

$Δ_{1} / / Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \notin Δ_{2}$

$Δ_{1} \equiv Δ_{2} \Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

$Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow {\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

b) Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ$ và $Δ^{'}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ , $\vec{u^{'}} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ . Khi đó: $\cos (Δ, Δ^{'}) = | \cos (\vec{u}, \vec{u^{'}}) | = \frac{| a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{a^{' 2} + b^{' 2} + c^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d nhận $\vec{u_{1}} (1; 2; - 2)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $A (- 2; - 3; 3)$ .

Đường thẳng d’ nhận $\vec{u_{2}} (- 1; 1; 2)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $B (1; - 2; 0)$ .

Ta có: $\vec{A B} (3; 1; - 3)$ ;

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (| \begin{matrix} 2 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} |; | \begin{matrix} - 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix} |)$

$= (6; 0; 3) \neq \vec{0}$ .

Vì $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{A B} = 6.3 + 0.1 + 3. (- 3) = 9 \neq 0$ nên d, d’ chéo nhau.

b) Ta có: $\cos (d, d^{'}) = | \cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) |$

$= \frac{| 1. (- 1) + 2.1 - 2.2 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

Do đó, góc giữa d và d’ xấp xỉ $65, 9^{o}$ .