Giải bài tập 5.47 trang 86

Đề bài

Cho ba điểm A(3; 0; 1), B(0; 2; 1), C(1; 0; 0). Phương trình của mặt phẳng (ABC) là

A. $2 x - 3 y - 4 z + 2 = 0$

B. $2 x + 3 y - 4 z - 2 = 0$

C. $4 x + 6 y - 8 z + 2 = 0$

D. $2 x - 3 y - 4 z + 1 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Tính hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng:

- Véc-tơ $\vec{A B} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$

- Véc-tơ $\vec{A C} = (x_{3} - x_{1}, y_{3} - y_{1}, z_{3} - z_{1})$

2. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

3. Viết phương trình mặt phẳng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$n_{1} (x - x_{1}) + n_{2} (y - y_{1}) + n_{3} (z - z_{1}) = 0$

- Thay tọa độ điểm $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ vào phương trình trên để ra phương trình mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

* Tính hai vectơ chỉ phương:

Véc-tơ $\vec{A B} = (0 - 3; 2 - 0; 1 - 1) = (- 3; 2; 0)$

Véc-tơ $\vec{A C} = (1 - 3; 0 - 0; 0 - 1) = (- 2; 0; - 1)$

* Tính vectơ pháp tuyến:

- Tính tích có hướng

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (2. (- 1) - 0.0; 0. (- 2) - (- 3) . (- 1); (- 3) .0 - 2. (- 2)) = (- 2; - 3; 4)$

- Vậy, vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (- 2; - 3; 4)$ .

* Viết phương trình mặt phẳng:

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$- 2 (x - 3) - 3 (y - 0) + 4 (z - 1) = 0$

$- 2 x + 6 - 3 y + 4 z - 4 = 0$

$- 2 x - 3 y + 4 z + 2 = 0$

$2 x + 3 y - 4 z - 2 = 0$

* Phương trình của mặt phẳng $(A B C)$ là:

$2 x + 3 y - 4 z - 2 = 0$

Chọn B